Полные факторные планы испытаний

Приведенные в табл. 1 и 2 матрицы планирования обладают свойствами ортогональности, симметричности и нормировки.

Свойство симметричности относительно центра опыта заключается в том, что алгебраическая сумма элементов вектор-столбцов каждого из факторов равна нулю:

; ; . (4)

Условие нормировки подтверждается равенством суммы квадратов элементов каждого столбца числу опытов:

; . (5)

Свойство ортогональности определяется равенством нулю произведений любых двух вектор-столбцов:

;. (6)

Предполагается, что при перемножении элементов с одноименными знаками получаем , с разноименными .

Свойство ортогональности позволяет резко уменьшить трудоемкость вычислений коэффициентов регрессии, так как матрица нормальных уравнений становится диагональной, причем ее диагональные элементы равны числу испытаний , заданных матрицей ПФП.

Воспользуемся матрицей планирования (табл.1) для получения уравнения регрессии вида

. (7)

При вычислении оценок коэффициентов регрессии по формуле последовательно получим

Отсюда

; ;

; .

Таким образом, каждый из коэффициентов вычисляется независимо и по простой формуле, которая в общем случае имеет вид

. (8)

Поскольку все диагональные элементы матрицы ошибок равны между собой, каждая из оценок получена с одинаковой (и минимальной) дисперсией

, (9)

где – ошибка опыта.

Рассмотренные ПФП являются оптимальными в том смысле, что при их реализации для данного числа испытаний определитель матрицы ошибок минимален. Геометрически это означает, что сведен к минимуму объем эллипсоида рассеивания оценок параметров. Важным свойством полученных планов является также рототабельность, которая заключается в том, что точность предсказания значений выходной характеристики одинакова на равных расстояниях от центра плана и не зависит от направления.

Актуально о образовании:

Возрастные особенности формирования учебной деятельности
На первом этапе, соответствующем начальному образованию, возникают и формируются основные компоненты структуры УД (у дошкольников имеются только их предпосылки). В младшем школьном возрасте УД является главной и ведущей среди других видов деятельности. Систематическое осуществление младшими школьни ...

Клинико–психолого-педагогические особенности детей с нарушениями зрения
Людмила Ивановна Солнцева в своих исследованиях отмечает, что наблюдение за детьми школьного возраста с нарушением зрения и анализ их психического развития, протекающего под активным воздействием внешней среды, показывают достаточно разнообразную и сложную картину психического статуса современного ...

Задачи, решаемые с помощью таблиц
При подготовке к решению таких задач можно удачно использовать карты сигналы (см. рис. 1). №1 на…больше + №2 в…больше Х №3 на…меньше – №4 в…меньше : Рис. 1. Карты сигналы Устный счет следует проводить с использованием данных карт, которые должны быть у каждого учащегося, что позволяет привлечь к ра ...